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Mathematics

If A = 30°; show that :

cos3 A−cos 3 Acos A\dfrac{\text{cos}^3 \text{ A} - \text{cos 3} \text{ A}}{\text{cos A}} + sin3 A+sin 3 Asin A\dfrac{\text{sin}^3 \text{ A} + \text{sin 3} \text{ A}}{\text{sin A}} = 3

Trigonometric Identities

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cos3 A−cos 3 Acos A\dfrac{\text{cos}^3 \text{ A} - \text{cos 3} \text{ A}}{\text{cos A}} + sin3 A+sin 3 Asin A\dfrac{\text{sin}^3 \text{ A} + \text{sin 3} \text{ A}}{\text{sin A}} = 3

L.H.S.=cos3 A−cos 3 Acos A+sin3 A+sin 3 Asin A=cos3 30°−cos 3 x 30°cos 30°+sin3 30°+sin 3 x 30°sin 30°=cos3 30°−cos 90°cos 30°+sin3 30°+sin 90°sin 30°=(32)3−0(32)+(12)3+1(12)=34+18+8812=34+1+881×42×4=34+9848=34+94=3+94=124=3\text{L.H.S.} = \dfrac{\text{cos}^3 \text{ A} - \text{cos 3} \text{ A}}{\text{cos A}} + \dfrac{\text{sin}^3 \text{ A} + \text{sin 3} \text{ A}}{\text{sin A}}\\[1em] = \dfrac{\text{cos}^3 \text{ 30°} - \text{cos 3 x 30°}}{\text{cos 30°}} + \dfrac{\text{sin}^3 \text{ 30°} + \text{sin 3 x 30°}}{\text{sin 30°}}\\[1em] = \dfrac{\text{cos}^3 \text{ 30°} - \text{cos 90°}}{\text{cos 30°}} + \dfrac{\text{sin}^3 \text{ 30°} + \text{sin 90°}}{\text{sin 30°}}\\[1em] = \dfrac{\Big(\dfrac{\sqrt3}{2}\Big)^3 - 0}{\Big(\dfrac{\sqrt3}{2}\Big)} + \dfrac{\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^3 + 1}{\Big(\dfrac{1}{2}\Big)}\\[1em] = \dfrac{3}{4} + \dfrac{\dfrac{1}{8} + \dfrac{8}{8}}{\dfrac{1}{2}}\\[1em] = \dfrac{3}{4} + \dfrac{\dfrac{1 + 8}{8}}{\dfrac{1 \times 4}{2 \times 4}}\\[1em] = \dfrac{3}{4} + \dfrac{\dfrac{9}{\cancel8}}{\dfrac{4}{\cancel8}}\\[1em] = \dfrac{3}{4} + \dfrac{9}{4}\\[1em] = \dfrac{3 + 9}{4}\\[1em] = \dfrac{12}{4}\\[1em] = 3

R.H.S. = 3

∴ L.H.S. = R.H.S.

Hence, cos3 A−cos 3 Acos A\dfrac{\text{cos}^3 \text{ A} - \text{cos 3} \text{ A}}{\text{cos A}} + sin3 A+sin 3 Asin A\dfrac{\text{sin}^3 \text{ A} + \text{sin 3} \text{ A}}{\text{sin A}} = 3

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