Find A, if 0° ≤ A ≤ 90° and :

(i) 2 cos² A - 1 = 0

(ii) sin 3A - 1 = 0

(iii) 4 sin² A - 3 = 0

(iv) cos² A - cos A = 0

(v) 2 cos² A + cos A - 1 = 0

(i) Solving,

⇒ 2 cos² A - 1 = 0

⇒ 2 cos² A = 1

⇒ cos² A = $\dfrac{1}{2}$

⇒ cos A = $\sqrt{\dfrac{1}{2}}$

⇒ cos A = $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

⇒ cos A = cos 45°

⇒ A = 45°.

Hence, A = 45°.

(ii) Solving,

⇒ sin 3A - 1 = 0

⇒ sin 3A = 1

⇒ sin 3A = sin 90°

⇒ 3A = 90°

⇒ A = 30°.

Hence, A = 30°.

(iii) Solving,

⇒ 4 sin² A - 3 = 0

⇒ 4 sin² A = 3

⇒ sin² A = $\dfrac{3}{4}$

⇒ sin A = $\sqrt{\dfrac{3}{4}}$

⇒ sin A = $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

⇒ sin A = sin 60°

⇒ A = 60°.

Hence, A = 60°.

(iv) Solving,

⇒ cos² A - cos A = 0

⇒ cos A(cos A - 1) = 0

⇒ cos A = 0 or cos A - 1 = 0

⇒ cos A = 0 or cos A = 1

⇒ cos A = cos 90° or cos A = cos 0°

⇒ A = 90° or A = 0°.

Hence, A = 0° or 90°.

(v) Solving,

⇒ 2 cos² A + cos A - 1 = 0

⇒ 2 cos² A + 2 cos A - cos A - 1 = 0

⇒ 2 cos A(cos A + 1) - 1(cos A + 1) = 0

⇒ (2 cos A - 1)(cos A + 1) = 0

⇒ 2 cos A = 1 or cos A = -1

⇒ cos A = $\dfrac{1}{2}$ or cos A = -1

Since, cos A cannot be negative in the range 0° ≤ A ≤ 90°.

∴ cos A = $\dfrac{1}{2}$

⇒ cos A = cos 60°

⇒ A = 60°

Hence, A = 60°.