If x + 2y + 3z = 0 and x³ + 4y³ + 9z³ = 18xyz; evaluate :

$\dfrac{(x + 2y)^2}{xy} + \dfrac{(2y + 3z)^2}{yz} + \dfrac{(3z + x)^2}{zx}$

Given,

x + 2y + 3z = 0

∴ x + 2y = -3z, 2y + 3z = -x and 3z + x = -2y

Solving,

$\Rightarrow \dfrac{(x + 2y)^2}{xy} + \dfrac{(2y + 3z)^2}{yz} + \dfrac{(3z + x)^2}{zx} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{(-3z)^2}{xy} + \dfrac{(-x)^2}{yz} + \dfrac{(-2y)^2}{zx}\\[1em] \Rightarrow \dfrac{9z^2}{xy} + \dfrac{x^2}{yz} + \dfrac{4y^2}{zx} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{9z^3 + x^3 + 4y^3}{xyz} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{x^3 + 4y^3 + 9z^3}{xyz} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{18xyz}{xyz} \\[1em] \Rightarrow 18.$

Hence, $\dfrac{(x + 2y)^2}{xy} + \dfrac{(2y + 3z)^2}{yz} + \dfrac{(3z + x)^2}{zx}$ = 18.