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Mathematics

Prove the following identities :

cos A1 + sin A+tan A = sec A\dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}} + \text{tan A = sec A}

Trigonometric Identities

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Answer

Solving L.H.S. of the equation :

⇒cos A1 + sin A+tan A⇒cos A1 + sin A+sin Acos A⇒cos2A+sin A(1 + sin A)cos A(1 + sin A)⇒cos2A+sin A + sin2Acos A(1 + sin A)\Rightarrow \dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}} + \text{tan A}\\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}} + \dfrac{\text{sin A}}{\text{cos A}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{cos}^2 A + \text{sin A(1 + sin A)}}{\text{cos A(1 + sin A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{cos}^2 A + \text{sin A + sin}^2 A}{\text{cos A(1 + sin A)}}

By formula,

cos2 A + sin2 A = 1

⇒1 + sin Acos A(1 + sin A)⇒1cos A⇒sec A.\Rightarrow \dfrac{\text{1 + sin A}}{\text{cos A(1 + sin A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{1}{\text{cos A}} \\[1em] \Rightarrow \text{sec A}.

Since, L.H.S. = R.H.S.

Hence, proved that cos A1 + sin A+tan A = sec A\dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}} + \text{tan A = sec A}.

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