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Mathematics

Prove the following identity, where the angles involved are acute angles for which the expressions are defined.

cos A1 + sin A+1 + sin Acos A\dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}} + \dfrac{\text{1 + sin A}}{\text{cos A}} = 2 sec A.

Trigonometric Identities

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Answer

Given,

Equation : cos A1 + sin A+1 + sin Acos A\dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}} + \dfrac{\text{1 + sin A}}{\text{cos A}} = 2 sec A.

Solving L.H.S. of the equation :

⇒cos A1 + sin A+1 + sin Acos A⇒cos2A+(1 + sin A)2cos A(1 + sin A)⇒cos2A+1+sin2A+2 sin Acos A(1 + sin A)⇒sin2A+cos2A+1+2 sin Acos A(1 + sin A)⇒1+1+2 sin Acos A(1 + sin A)⇒2+2 sin Acos A(1 + sin A)⇒2(1+sin A)cos A(1 + sin A)⇒2cos A⇒2 sec A.\Rightarrow \dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}} + \dfrac{\text{1 + sin A}}{\text{cos A}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{cos}^2 A + \text{(1 + sin A)}^2}{\text{cos A(1 + sin A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{cos}^2 A + 1 + \text{sin}^2 A + \text{2 sin A}}{\text{cos A(1 + sin A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{sin}^2 A + \text{cos}^2 A + 1 + \text{2 sin A}}{\text{cos A(1 + sin A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{1 + 1 + \text{2 sin A}}{\text{cos A(1 + sin A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{2 + \text{2 sin A}}{\text{cos A(1 + sin A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{2(1 + \text{sin A})}{\text{cos A(1 + sin A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{2}{\text{cos A}} \\[1em] \Rightarrow \text{2 sec A}.

Since, L.H.S. = R.H.S.

Hence, proved that cos A1 + sin A+1 + sin Acos A\dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}} + \dfrac{\text{1 + sin A}}{\text{cos A}} = 2 sec A.

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