Factorisation — Exercise 4(B)

Factorize:

x² - 49

Answer

Given,

⇒ x² - 49

⇒ x² - 7²

⇒ (x + 7)(x - 7).

Hence, x² - 49 = (x + 7)(x - 7).

Factorize:

25x² - 64y²

Answer

Given,

⇒ 25x² - 64y²

⇒ (5x)² - (8y)²

⇒ (5x + 8y)(5x - 8y).

Hence, 25x² - 64y² = (5x + 8y)(5x - 8y).

Factorize:

100 - 9p²

Answer

Given,

⇒ 100 - 9p²

⇒ (10)² - (3p)²

⇒ (10 + 3p)(10 - 3p).

Hence, 100 - 9p² = (10 + 3p)(10 - 3p).

Factorize:

80 - 5a²

Answer

Given,

⇒ 80 - 5a²

⇒ 5(16 - a²)

⇒ 5[(4)² - (a)²]

⇒ 5(4 + a)(4 - a).

Hence, 80 - 5a² = 5(4 + a)(4 - a).

Factorize:

32x² - 18y²

Answer

Given,

⇒ 32x² - 18y²

⇒ 2(16x² - 9y²)

⇒ 2[(4x)² - (3y)²]

⇒ 2(4x + 3y)(4x - 3y)

Hence, 32x² - 18y² =2(4x + 3y)(4x - 3y).

Factorize:

3x³ - 48x

Answer

Given,

⇒ 3x³ - 48x

⇒ 3x(x² - 16)

⇒ 3x[(x)² - (4)²]

⇒ 3x(x + 4)(x - 4)

Hence, 3x³ - 48x = 3x(x + 4)(x - 4).

Factorize:

x⁴ - 81

Answer

Given,

⇒ x⁴ - 81

⇒ (x²)² - (9)²

⇒ (x² + 9)(x² - 9)

⇒ (x² + 9)[x² - (3)²]

⇒ (x² + 9)(x + 3)(x - 3).

Hence, x⁴ - 81 = (x² + 9)(x + 3)(x - 3).

Factorize:

2x⁴ - 32

Answer

Given,

⇒ 2x⁴ - 32

⇒ 2(x⁴ - 16)

⇒ 2[(x²)² - (4)²]

⇒ 2(x² + 4)(x² - 4)

⇒ 2(x² + 4)[(x)² - (2)²]

⇒ 2(x² + 4)(x + 2)(x - 2)

Hence, 2x⁴ - 32 = 2(x² + 4)(x + 2)(x - 2).

Factorize:

x³ - 5x² - x + 5

Answer

Given,

⇒ x³ - 5x² - x + 5

⇒ x² (x - 5) - 1(x - 5)

⇒ (x² - 1)(x - 5)

⇒ [(x)² - (1)²] (x - 5)

⇒ (x + 1)(x - 1)(x - 5)

Hence, x³ - 5x² - x + 5 = (x + 1)(x - 1)(x - 5).

Factorize:

9(x + a)² - 4x²

Answer

Given,

⇒ 9(x + a)² - 4x²

⇒ [3(x + a)]² - (2x)²

⇒ [3(x + a) + 2x] [3(x + a) - 2x]

⇒ (3x + 3a + 2x)(3x + 3a - 2x)

⇒ (5x + 3a)(x + 3a).

Hence, 9(x + a)² - 4x² = (5x + 3a)(x + 3a).

Factorize:

9(b + 2a)² - 4a²

Answer

Given,

⇒ 9(b + 2a)² - 4a²

⇒ [3(b + 2a)]² - (2a)²

⇒ [3(b + 2a) + 2a][3(b + 2a) - 2a]

⇒ (3b + 6a + 2a)(3b + 6a - 2a)

⇒ (3b + 8a)(3b + 4a).

Hence, 9(b + 2a)² - 4a² = (3b + 8a)(3b + 4a).

Factorize:

3 - 12(a - b)²

Answer

Given,

⇒ 3 - 12(a - b)²

⇒ 3[1 - 4(a - b)²]

⇒ 3[(1)² - [2(a - b)]²]

⇒ 3[1 + 2(a - b)] [1 - 2(a - b)]

⇒ 3(1 + 2a - 2b)(1 - 2a + 2b)

Hence, 3 - 12(a - b)² = 3(1 + 2a - 2b)(1 - 2a + 2b).

Factorize:

50a² - 2(b - c)²

Answer

Given,

⇒ 50a² - 2(b - c)²

⇒ 2[25a² - (b - c)²]

⇒ 2[(5a)² - (b - c)²]

⇒ 2[5a + (b - c)] [5a - (b - c)]

⇒ 2(5a + b - c)(5a - b + c).

Hence, 50a² - 2(b - c)² = 2(5a + b - c)(5a - b + c).

Factorize:

2(x - 3)² - 32

Answer

Given,

⇒ 2(x - 3)² - 32

⇒ 2[(x - 3)² - 16]

⇒ 2[(x - 3)² - (4)²]

⇒ 2(x - 3 + 4)(x - 3 - 4)

⇒ 2(x - 3 + 4)(x - 3 - 4)

⇒ 2(x + 1)(x - 7).

Hence, 2(x - 3)² - 32 = 2(x + 1)(x - 7).

Factorize:

a²(b + c) - (b + c)³

Answer

Given,

⇒ a²(b + c) - (b + c)³

⇒ (b + c)[a² - (b + c)²]

⇒ (b + c)(a + b + c)(a - b - c).

Hence, a²(b + c) - (b + c)³ = (b + c)(a + b + c)(a - b - c).

Factorize:

x² - 1 - 2a - a²

Answer

Given,

⇒ x² - 1 - 2a - a²

⇒ x² - (a² + 2a + 1)

⇒ (x)² - (a + 1)²

⇒ (x + a + 1)[x - (a + 1)]

⇒ (x + a + 1)(x - a - 1).

Hence, x² - 1 - 2a - a² = (x + a + 1)(x - a - 1).

Factorize:

x² - y² + 2yz - z²

Answer

Given,

⇒ x² - y² + 2yz - z²

⇒ x² - (y² - 2yz + z²)

⇒ (x)² - (y - z)²

⇒ (x + y - z)[x - (y - z)]

⇒ (x + y - z)(x - y + z).

Hence, x² - y² + 2yz - z² = (x + y - z)(x - y + z).

Factorize:

x² - y² - 4xz + 4z²

Answer

Given,

⇒ x² - y² - 4xz + 4z²

⇒ x² - 4xz + 4z² - y²

⇒ (x - 2z)² - (y)²

⇒ (x - 2z + y)(x - 2z - y).

Hence, x² - y² - 4xz + 4z² = (x - 2z + y)(x - 2z - y).

Factorize:

x² - 4x + 4y - y²

Answer

Given,

⇒ x² - 4x + 4y - y²

⇒ (x² - 4x) - (y² - 4y)

⇒ (x² - 4x) + 4 - 4 - (y² - 4y)

⇒ (x² - 4x + 4) - (y² - 4y + 4)

⇒ (x - 2)² - (y - 2)²

⇒ (x - 2 + y - 2)[x - 2 - (y - 2)]

⇒ (x - 2 + y - 2)(x - 2 - y + 2)

⇒ (x + y - 4)(x - y).

Hence, x² - 4x + 4y - y² = (x - y)(x + y - 4).

Factorize:

x - y - x² + y²

Answer

Given,

⇒ x - y - x² + y²

⇒ -x² + y² + x - y

⇒ -(x² - y²) + x - y

⇒ -(x + y)(x - y) + x - y

⇒ (x - y)[-(x + y) + 1]

⇒ (x - y)(1 - x - y).

Hence, x - y - x² + y² = (x - y)(1 - x - y).

Factorize:

x(x + z) - y(y + z)

Answer

Given,

⇒ x(x + z) - y(y + z)

⇒ x² + xz - y² - yz

⇒ x² - y² + xz - yz

⇒ x² - y² + z(x - y)

⇒ (x - y)(x + y) + z(x - y)

⇒ (x - y)(x + y + z).

Hence, x(x + z) - y(y + z) = (x - y)(x + y + z).

Factorize:

x(x - 2) - y(y - 2)

Answer

Given,

⇒ x(x - 2) - y(y - 2)

⇒ x² - 2x - y² + 2y

⇒ x² - y² + 2y - 2x

⇒ (x - y)(x + y) + 2(y - x)

⇒ (x - y)(x + y) - 2(x - y)

⇒ (x - y)(x + y - 2).

Hence, x(x - 2) - y(y - 2) = (x - y)(x + y - 2).

Factorize:

4x²y - 9y³

Answer

Given,

⇒ 4x²y - 9y³

⇒ y(4x² - 9y²)

⇒ y[(2x)² - (3y)²]

⇒ y(2x + 3y)(2x - 3y).

Hence, 4x²y - 9y³ = y(2x + 3y)(2x - 3y).

Factorize:

9x⁴ - x² - 12x - 36

Answer

Given,

⇒ 9x⁴ - x² - 12x - 36

⇒ (9x⁴) - (x² + 12x + 36)

⇒ (3x²)² - (x + 6)²

⇒ (3x² + x + 6)(3x² - x - 6).

Hence, 9x⁴ - x² - 12x - 36 = (3x² + x + 6)(3x² - x - 6).

Factorize:

$x^2 + \dfrac{1}{x^2} - 11$

Answer

Given,

$\Rightarrow x^2 + \dfrac{1}{x^2} - 11 \\[1em] \Rightarrow \Big(x^2 + \dfrac{1}{x^2} - 2\Big) - 9 \\[1em] \Rightarrow \Big(x^2 + \dfrac{1}{x^2} - 2 \times x \times \dfrac{1}{x}\Big) - 9 \\[1em] \Rightarrow \Big(x - \dfrac{1}{x}\Big)^2 - (3)^2 \\[1em] \Rightarrow \Big(x - \dfrac{1}{x} + 3\Big) \Big(x - \dfrac{1}{x} - 3\Big).$

Hence, $x^2 + \dfrac{1}{x^2} - 11 = \Big(x - \dfrac{1}{x} + 3\Big) \Big(x - \dfrac{1}{x} - 3\Big)$.

Factorize:

x⁴ + 5x² + 9

Answer

Given,

⇒ x⁴ + 5x² + 9

⇒ (x²)² + 6x² - x² + (3)²

⇒ (x²)² + 6x² + (3)² - x²

⇒ (x²)² + 2 × 3 × x² + (3)² - x²

⇒ (x² + 3)² - (x)²     [As, (a + b)² = a² + b² + 2ab]

⇒ (x² + 3 + x)(x² + 3 - x).

Hence, x⁴ + 5x² + 9 = (x² + 3 + x)(x² + 3 - x).

Factorize:

a² + b² - c² - d² + 2ab - 2cd

Answer

Given,

⇒ a² + b² - c² - d² + 2ab - 2cd

⇒ a² + b² + 2ab - c² - d² - 2cd

⇒ (a² + b² + 2ab) - (c² + d² + 2cd)

⇒ (a + b)² - (c + d)²

⇒ [(a + b) + (c + d)][(a + b) - (c + d)]

⇒ (a + b + c + d)(a + b - c - d).

Hence, a² + b² - c² - d² + 2ab - 2cd = (a + b + c + d)(a + b - c - d).

Factorize:

(a² - b²)(c² - d²) - 4abcd

Answer

Given,

⇒ (a² - b²)(c² - d²) - 4abcd

⇒ a²c² - a²d² - b²c² + b²d² - 4abcd

⇒ a²c² + b²d² - 2abcd - b²c² - a²d² - 2abcd

⇒ (a²c² + b²d² - 2 × ac × bd) - (a²d² + b²c² + 2 × ad × bc)

⇒ (ac - bd)² - (ad + bc)²

⇒ [(ac - bd) + (ad + bc)][(ac - bd) - (ad + bc)]

⇒ (ac - bd + ad + bc)(ac - bd - ad - bc).

Hence, (a² - b²)(c² - d²) - 4abcd = (ac - bd + ad + bc)(ac - bd - ad - bc).

Factorize:

4x² - 12ax - y² - z² - 2yz + 9a²

Answer

Given,

⇒ 4x² - 12ax - y² - z² - 2yz + 9a²

⇒ 9a² + 4x² - 12ax - (y² + z² + 2yz)

⇒ (4x² + 9a² - 12ax) - (y² + z² + 2yz)

⇒ [(2x)² + (3a)² - 2 × 3a × 2x] - (y² + z² + 2yz)

⇒ (2x - 3a)² - (y + z)²

⇒ [(2x - 3a) + (y + z)][(2x - 3a) - (y + z)]

⇒ (2x - 3a + y + z)(2x - 3a - y - z).

Hence, 4x² - 12ax - y² - z² - 2yz + 9a² = (2x - 3a + y + z)(2x - 3a - y - z).

Factorize:

9a² + 3a - 8b - 64b²

Answer

Given,

⇒ 9a² + 3a - 8b - 64b²

⇒ 9a² - 64b² + 3a - 8b

⇒ (3a)² - (8b)² + 3a - 8b

⇒ (3a + 8b)(3a - 8b) + 3a - 8b

⇒ (3a - 8b)[(3a + 8b) + 1]

⇒ (3a - 8b)(3a + 8b + 1).

Hence, 9a² + 3a - 8b - 64b² = (3a - 8b)(3a + 8b + 1).

Express (x² + 8x - 15)(x² - 8x - 15) as the difference of two squares.

Answer

Given,

⇒ (x² + 8x - 15)(x² - 8x - 15)

⇒ [(x² - 15) + (8x)] [(x² - 15) - (8x)]

⇒ (x² - 15)² - (8x)².

Hence, (x² + 8x - 15)(x² - 8x - 15) = (x² - 15)² - (8x)².

Evaluate:

(i) (674)² - (326)²

(ii) (18.6)² - (1.4)²

Answer

(i) Given,

⇒ (674)² - (326)²

By using the identity,

(a² - b²) = (a + b)(a - b)

⇒ (674 + 326)(674 - 326)

⇒ (1000)(348)

⇒ 348000.

Hence, (674)² - (326)² = 348000.

(ii) Given,

⇒ (18.6)² - (1.4)²

By using the identity,

(a² - b²) = (a + b)(a - b)

⇒ (18.6 + 1.4)(18.6 - 1.4)

⇒ (20)(17.2)

⇒ 344.

Hence, (18.6)² - (1.4)² = 344.

Factorise:

(x⁴ + x²y² + y⁴)

Answer

Given,

⇒ (x⁴ + x²y² + y⁴)

⇒ x⁴ + 2x²y² - x²y² + y⁴

⇒ x⁴ + 2x²y² + y⁴ - x²y²

⇒ [(x²)² + 2 × x² × y² + (y²)²] - x²y²

By using the identity,

(a + b)² = a² + b² + 2ab

⇒ (x² + y²)² - (xy)²

⇒ (x² + y² + xy)(x² + y² - xy)

Hence, (x⁴ + x²y² + y⁴)= (x² + y² + xy)(x² + y² - xy).