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Mathematics

(i) Express cos A1 + sin A\dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}} in terms of sec A and tan A.

(ii) Express cos A1 - sin A\dfrac{\text{cos A}}{\text{1 - sin A}} in terms of sec A and tan A.

(iii) Prove that : cos A1 - sin A−cos A1 + sin A\dfrac{\text{cos A}}{\text{1 - sin A}} - \dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}} = 2 tan A

Trigonometric Identities

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Answer

(i) Given,

cos A1 + sin A\dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}}

Multiplying numerator and denominator by cos A, we get :

⇒cos A1 + sin A×cos Acos A⇒cos2Acos A(1 + sin A)⇒1−sin2Acos A(1 + sin A)⇒(1 - sin A)(1 + sin A)cos A(1 + sin A)⇒1 - sin Acos A⇒1cos A−sinAcos A⇒sec A - tan A.\Rightarrow \dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}} \times \dfrac{\text{cos A}}{\text{cos A}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{cos}^2 A}{\text{cos A(1 + sin A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{1 - \text{sin}^2 A}{\text{cos A(1 + sin A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{(1 - sin A)(1 + sin A)}}{\text{cos A(1 + sin A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{1 - sin A}}{\text{cos A}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{1}{\text{cos A}} - \dfrac{\text{sinA}}{\text{cos A}} \\[1em] \Rightarrow \text{sec A - tan A}.

Hence, cos A1 + sin A\dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}} = sec A - tan A

(ii) Given,

cos A1 - sin A\dfrac{\text{cos A}}{\text{1 - sin A}}

Multiplying numerator and denominator by cos A, we get :

⇒cos A1 - sin A×cos Acos A⇒cos2Acos A(1 - sin A)⇒1−sin2Acos A(1 - sin A)⇒(1 - sin A)(1 + sin A)cos A(1 - sin A)⇒1 + sin Acos A⇒1cos A+sinAcos A⇒sec A + tan A.\Rightarrow \dfrac{\text{cos A}}{\text{1 - sin A}} \times \dfrac{\text{cos A}}{\text{cos A}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{cos}^2 A}{\text{cos A(1 - sin A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{1 - \text{sin}^2 A}{\text{cos A(1 - sin A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{(1 - sin A)(1 + sin A)}}{\text{cos A(1 - sin A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{1 + sin A}}{\text{cos A}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{1}{\text{cos A}} + \dfrac{\text{sinA}}{\text{cos A}} \\[1em] \Rightarrow \text{sec A + tan A}.

Hence, cos A1 - sin A\dfrac{\text{cos A}}{\text{1 - sin A}} = sec A + tan A

(iii) To prove:

cos A1 - sin A−cos A1 + sin A\dfrac{\text{cos A}}{\text{1 - sin A}} - \dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}} = 2 tan A

Solving L.H.S. of the equation :

⇒cos A1 - sin A−cos A1 + sin A⇒cos A(1 + sin A) - cos A(1 - sin A)(1 - sin A)(1 + sin A)⇒cos A + cos A sin A - cos A + cos A sin A1 - sin A + sin A - sin2A⇒2 cos A sin A1 - sin2A⇒2 cos A sin Acos2A⇒2 sin Acos A⇒2 tan A.\Rightarrow \dfrac{\text{cos A}}{\text{1 - sin A}} - \dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{cos A(1 + sin A) - cos A(1 - sin A)}}{\text{(1 - sin A)(1 + sin A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{cos A + cos A sin A - cos A + cos A sin A}}{\text{1 - sin A + sin A - sin}^2 A} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{2 cos A sin A}}{\text{1 - sin}^2 A} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{2 cos A sin A}}{\text{cos}^2 A} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{2 sin A}}{\text{cos A}} \\[1em] \Rightarrow \text{2 tan A}.

Hence, proved cos A1 - sin A−cos A1 + sin A\dfrac{\text{cos A}}{\text{1 - sin A}} - \dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}} = 2 tan A.

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