If 0° < A < 90°; find A if :

(i) $\dfrac{\text{cos A}}{\text{1 - sin A}} + \dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}} = 4$

(ii) $\dfrac{\text{sin A}}{\text{sec A - 1}} + \dfrac{\text{sin A}}{\text{sec A + 1}}$ = 2

(i) Solving L.H.S. of the equation :

$\Rightarrow \dfrac{\text{cos A}}{\text{1 - sin A}} + \dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}} = 4 \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{cos A(1 + sin A) + cos A(1 - sin A)}}{\text{(1 + sin A)(1 - sin A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{cos A + cos A sin A + cos A - cos A sin A}}{\text{1 - sin}^2 A}$

By formula,

1 - sin² A = cos² A

$\Rightarrow \dfrac{\text{2 cos A}}{\text{cos}^2 A} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{2}{\text{cos A}} \\[1em] \Rightarrow 2\text{ sec A}.$

Given, R.H.S. = 4

∴ 2 sec A = 4

⇒ sec A = 2

⇒ sec A = sec 60°

⇒ A = 60°.

Hence, A = 60°.

(ii) Solving L.H.S. of the equation :

$\Rightarrow \dfrac{\text{sin A}}{\text{sec A - 1}} + \dfrac{\text{sin A}}{\text{sec A + 1}} = 2 \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{sin A(sec A + 1) + sin A(sec A - 1)}}{\text{(sec A - 1)(sec A + 1)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{sin A sec A + sin A + sin A sec A - sin A}}{\text{sec}^2 A - 1} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{2 sin A sec A}}{\text{sec}^2 A - 1}$

By formula,

sec² A - 1 = tan² A

$\Rightarrow \dfrac{\text{2 sin A} \times \dfrac{1}{\text{cos A}}}{\text{tan}^2 A} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{2 tan A}}{\text{tan}^2 A} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{2}{\text{tan A}} \\[1em] \Rightarrow \text{2 cot A}.$

Given, R.H.S. = 2

∴ 2 cot A = 2

⇒ cot A = 1

⇒ cot A = cot 45°

⇒ A = 45°.

Hence, A = 45°.