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Mathematics

Prove that :

cos A1 + sin A\dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}} = sec A - tan A

Trigonometric Identities

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Answer

Solving R.H.S. of the above equation :

⇒sec A - tan A⇒1cos A−sin Acos A⇒1 - sin Acos A⇒1 - sin Acos A×1 + sin A1 + sin A⇒1 - sin2Acos A(1+ sin A)⇒1 - sin2Acos A(1 + sin A)⇒cos2Acos A(1 + sin A)⇒cos A1 + sin A.\Rightarrow \text{sec A - tan A} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{1}{\text{cos A}} - \dfrac{\text{sin A}}{\text{cos A}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{1 - sin A}}{\text{cos A}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{1 - sin A}}{\text{cos A}} \times \dfrac{\text{1 + sin A}}{\text{1 + sin A}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{1 - sin}^2 A}{\text{cos A(1+ sin A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{1 - sin}^2 A}{\text{cos A(1 + sin A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{cos}^2 A}{\text{cos A(1 + sin A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}}.

Since, L.H.S. = R.H.S.

Hence, proved that cos A1 + sin A\dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}} = sec A - tan A.

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