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Mathematics

Prove the following identities :

cosec A - 1cosec A + 1=(cos A1 + sin A)2\dfrac{\text{cosec A - 1}}{\text{cosec A + 1}} = \Big(\dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}}\Big)^2

Trigonometric Identities

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Answer

Solving L.H.S. of the equation :

⇒1sin A−11sin A+1⇒1 - sin Asin A1 + sin Asin A⇒(1 - sin A)× sin A(1 + sin A)× sin A⇒1 - sin A1 + sin A.\Rightarrow \dfrac{\dfrac{1}{\text{sin A}} - 1}{\dfrac{1}{\text{sin A}} + 1} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\dfrac{\text{1 - sin A}}{\text{sin A}}}{\dfrac{\text{1 + sin A}}{\text{sin A}}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{(1 - sin A)} \times \text{ sin A}}{\text{(1 + sin A)} \times \text{ sin A}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{1 - sin A}}{\text{1 + sin A}}.

Solving R.H.S. of the equation :

⇒(cos A1 + sin A)2⇒cos2A(1 + sin A)2⇒1 - sin2A(1 + sin A)2⇒(1 - sin A)(1 + sin A)(1 + sin A)2⇒(1 - sin A)(1 + sin A).\Rightarrow \Big(\dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}}\Big)^2 \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{cos}^2 A}{\text{(1 + sin A)}^2} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{1 - sin}^2 A}{\text{(1 + sin A)}^2} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{(1 - sin A)(1 + sin A)}}{\text{(1 + sin A)}^2} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{(1 - sin A)}}{\text{(1 + sin A)}}.

Since, L.H.S. = R.H.S.

Hence, proved that cosec A - 1cosec A + 1=(cos A1 + sin A)2\dfrac{\text{cosec A - 1}}{\text{cosec A + 1}} = \Big(\dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}}\Big)^2.

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