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Mathematics

Prove the following identities :

1 + sin Acos A+cos A1 + sin A\dfrac{\text{1 + sin A}}{\text{cos A}} + \dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}} = 2 sec A

Trigonometric Identities

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Answer

Solving L.H.S. of the equation :

⇒1 + sin Acos A+cos A1 + sin A⇒(1 + sin A)2+cos2Acos A(1 + sin A)⇒1 + 2 sin A + sin2A+cos2Acos A(1 + sin A)\Rightarrow \dfrac{\text{1 + sin A}}{\text{cos A}} + \dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{(1 + sin A)}^2 + \text{cos}^2 A}{\text{cos A(1 + sin A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{1 + 2 sin A + sin}^2 A + \text{cos}^2 A}{\text{cos A(1 + sin A)}}

By formula,

sin2 A + cos2 A = 1.

⇒1 + 2 sin A + 1cos A(1 + sin A)⇒2 + 2 sin Acos A(1 + sin A)⇒2(1 + sin A)cos A(1 + sin A)⇒2cos A⇒2 sec A\Rightarrow \dfrac{\text{1 + 2 sin A + 1}}{\text{cos A(1 + sin A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{2 + 2 sin A}}{\text{cos A(1 + sin A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{2(1 + sin A)}}{\text{cos A(1 + sin A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{2}{\text{cos A}} \\[1em] \Rightarrow 2\text{ sec A}

Since, L.H.S. = R.H.S.

Hence, proved that 1 + sin Acos A+cos A1 + sin A\dfrac{\text{1 + sin A}}{\text{cos A}} + \dfrac{\text{cos A}}{\text{1 + sin A}} = 2 sec A.

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