If A = $\begin{bmatrix} 4 & 1 \ -1 & 2 \end{bmatrix}$, show that 6A – A² = 9I.

Solving A²,

$\Rightarrow A^2 = \begin{bmatrix} 4 & 1 \ -1 & 2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 4 & 1 \ -1 & 2 \end{bmatrix} \\[1em] \Rightarrow \begin{bmatrix} 4 \times 4 + 1 \times (-1) & 4 \times 1 + 1 \times 2 \ -1 \times 4 + 2 \times (-1) & -1 \times 1 + 2 \times 2 \end{bmatrix} \\[1em] \Rightarrow \begin{bmatrix} 16 - 1 & 4 + 2 \ -4 - 2 & -1 + 4 \end{bmatrix} \\[1em] \Rightarrow \begin{bmatrix} 15 & 6 \ -6 & 3 \end{bmatrix}.$

Solving 6A,

$\Rightarrow 6A = 6 \times \begin{bmatrix} 4 & 1 \ -1 & 2 \end{bmatrix} \\[1em] \Rightarrow \begin{bmatrix} 24 & 6 \ -6 & 12 \end{bmatrix}.$

Now, 6A – A²

$\Rightarrow \begin{bmatrix} 24 & 6 \ -6 & 12 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 15 & 6 \ -6 & 3 \end{bmatrix} \\[1em] \Rightarrow \begin{bmatrix} 24 - 15 & 6 - 6 \ -6 - (-6) & 12 - 3 \end{bmatrix} \\[1em] \Rightarrow \begin{bmatrix} 9 & 0 \ 0 & 9 \end{bmatrix} \\[1em] \Rightarrow 9\begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = 9I.$

Hence, proved that 6A – A² = 9I.