(cot A - cot B)² + (1 + cot A cot B)² is equal to :

1. sec² A - cos² A

2. sec² A - cosec² A

3. (1 + tan A)² - (1 - cot A)²

4. cosec² A . cosec² B

Solving,

⇒ (cot A - cot B)² + (1 + cot A cot B)²

⇒ cot² A + cot² B - 2 cot A cot B + 1 + cot² A . cot² B + 2 cot A cot B

⇒ cot² A + cot² A . cot² B + 1 + cot² B

⇒ cot² A(1 + cot² B) + (1 + cot² B)

⇒ (1 + cot² B)(1 + cot² A)

⇒ $\Big(1 + \dfrac{\text{cos}^2 B}{\text{sin}^2 B}\Big)\Big(1 + \dfrac{\text{cos}^2 A}{\text{sin}^2 A}\Big)$

⇒ $\Big(\dfrac{\text{sin}^2 B + \text{cos}^2 B}{\text{sin}^2 B}\Big)\Big(\dfrac{\text{sin}^2 A + \text{cos}^2 A}{\text{sin}^2 A}\Big)$

Substituting, sin² θ + cos² θ = 1, we get :

⇒ $\Big(\dfrac{1}{{\text{sin}^2 B}}\Big)\Big(\dfrac{1}{\text{sin}^2 A}\Big)$

⇒ cosec² B . cosec² A

Hence, Option 4 is the correct option.