If tan A = 1 and tan B = $\sqrt{3}$; evaluate :

(i) cos A cos B - sin A sin B

(ii) sin A cos B + cos A sin B

Given,

⇒ tan A = 1

⇒ tan A = tan 45°

⇒ A = 45°.

⇒ tan B = $\sqrt{3}$

⇒ tan B = tan 60°

⇒ B = 60°.

(i) Solving,

⇒ cos A cos B - sin A sin B

⇒ cos 45° cos 60° - sin 45° sin 60°

$\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{2}} - \dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{3}\sqrt{2}}{4} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}.$

Hence, cos A cos B - sin A sin B = $\dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}.$

(ii) Given,

⇒ sin A cos B + cos A sin B

⇒ sin 45° cos 60° + cos 45° sin 60°

$\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{2}} + \dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\sqrt{2}(1 + \sqrt{3})}{4} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}.$

Hence, sin A cos B + cos A sin B = $\dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}.$