Prove the following identities, where the angles involved are acute angles for which the trigonometric ratios are defined:

2(sin⁶ θ + cos⁶ θ) - 3(sin⁴ θ + cos⁴ θ) + 1 = 0.

Solving L.H.S.,

⇒ 2[(sin² θ)³ + (cos² θ)³] - 3[(sin² θ)² + (cos² θ)²] + 1

⇒ 2[(sin² θ + cos² θ)³ - 3sin² θ cos² θ(sin² θ + cos² θ)] - 3[(sin² θ + cos² θ)² - 2sin² θ cos² θ)] + 1

⇒ 2[(1)³ - 3sin² θ cos² θ(1)] - 3[(1)² - 2sin² θ cos² θ)] + 1

⇒ 2 - 6sin² θ cos² θ - 3 + 6sin² θ cos² θ + 1

⇒ 2 - 3 + 1 - 6sin² θ cos² θ + 6sin² θ cos² θ

⇒ 3 - 3

⇒ 0.

Since, L.H.S. = R.H.S. hence, proved that 2(sin⁶ θ + cos⁶ θ) - 3(sin⁴ θ + cos⁴ θ) + 1 = 0.