In the adjoining figure, AB = AC, BD = CD, ∠BAD = 32°, ∠BDC = 56°, ∠CAD = 2x° and ∠BDA = (x + y)°. The values of x and y will be :

1. x = 10, y = 16

2. x = 16, y = 12

3. x = 18, y = 8

4. x = 12, y = 16

Join BC.

In △BDC,

BD = DC

∠DBC = ∠DCB = a (let)

∴ ∠DBC + ∠DCB + ∠BDC = 180°

⇒ a + a + 56° = 180°

⇒ 2a = 180° - 56°

⇒ 2a = 124°

⇒ a = $\dfrac{124°}{2}$

⇒ a = 62°

⇒ ∠DBC = ∠DCB = 62°

In △ABC,

AB = AC

∠ABC = ∠ACB

∠ABD = ∠ABC + ∠DBC ….(1)

∠ACD = ∠ACB + ∠DCB

⇒ ∠ACD = ∠ABC + ∠DBC ….(2)

From eq.(1) and (2), we have :

⇒ ∠ABD = ∠ACD

In △ABC,

∴ ∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°

⇒ ∠BAD + ∠CAD + ∠ABC + ∠ABC = 180°

⇒ 32° + 2x° + 2∠ABC = 180°

⇒ 2∠ABC = 180° - 32° - 2x°

⇒ 2∠ABC = 148° - 2x°

⇒ ∠ABC = 74° - x°

Substituting value of ∠ABC in eq.(1):

⇒ ∠ABD = ∠ABC + ∠DBC

⇒ ∠ABD = 74° - x° + 62°

⇒ ∠ABD = 136° - x°

In △ABD,

⇒ ∠ABD + ∠BAD + ∠BDA = 180°

⇒ 136° - x° + 32° + x° + y° = 180°

⇒ 168° + y° = 180°

⇒ y° = 180° - 168°

⇒ y° = 12°

⇒ y = 12.

In an isosceles triangle BDC,

BD = CD

We know that,

Perpendicular drawn from the vertex of an isosceles triangle bisects the base.

⇒ ∠DOB = ∠DOC = 90°

In △DOB,

⇒ ∠DBO + ∠DOB + ∠BDO = 180°

⇒ 62° + 90° + x° + y° = 180°

⇒ 152° + x° + 12° = 180°

⇒ 164° + x° = 180°

⇒ x° = 180° - 164°

⇒ x° = 16°

⇒ x = 16.

Hence, option 2 is the correct option.