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Mathematics

(i) Evaluate : sin3A+cos3Asin A + cos A\dfrac{\text{sin}^3 A + \text{cos}^3 A}{\text{sin A + cos A}}

(ii) Evaluate : sin3A−cos3Asin A - cos A\dfrac{\text{sin}^3 A - \text{cos}^3 A}{\text{sin A - cos A}}

(iii) Prove that : sin3A+cos3Asin A + cos A+sin3A−cos3Asin A - cos A\dfrac{\text{sin}^3 A + \text{cos}^3 A}{\text{sin A + cos A}} + \dfrac{\text{sin}^3 A - \text{cos}^3 A}{\text{sin A - cos A}} = 2.

Trigonometric Identities

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(i) Solving,

⇒sin3A+cos3Asin A + cos A⇒(sin A + cos A)(sin2A+cos2A−sin A. cos A)sin A + cos A⇒(1 - sin A.cos A).\Rightarrow \dfrac{\text{sin}^3 A + \text{cos}^3 A}{\text{sin A + cos A}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{(sin A + cos A)}(\text{sin}^2 A + \text{cos}^2 A - \text{sin A. cos A})}{\text{sin A + cos A}} \\[1em] \Rightarrow \text{(1 - sin A.cos A)}.

Hence, sin3A+cos3Asin A + cos A\dfrac{\text{sin}^3 A + \text{cos}^3 A}{\text{sin A + cos A}} = 1 - sin A. cos A

(ii) Solving,

⇒sin3A−cos3Asin A - cos A⇒(sin A - cos A)(sin2A+cos2A+sin A. cos A)sin A - cos A⇒(1 + sin A.cos A).\Rightarrow \dfrac{\text{sin}^3 A - \text{cos}^3 A}{\text{sin A - cos A}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{(sin A - cos A)}(\text{sin}^2 A + \text{cos}^2 A + \text{sin A. cos A})}{\text{sin A - cos A}} \\[1em] \Rightarrow \text{(1 + sin A.cos A)}.

Hence, sin3A−cos3Asin A - cos A\dfrac{\text{sin}^3 A - \text{cos}^3 A}{\text{sin A - cos A}} = 1 + sin A.cos A

(iii) From part (i) and (ii), we get :

⇒sin3A+cos3Asin A + cos A+sin3A−cos3Asin A - cos A\Rightarrow \dfrac{\text{sin}^3 A + \text{cos}^3 A}{\text{sin A + cos A}} + \dfrac{\text{sin}^3 A - \text{cos}^3 A}{\text{sin A - cos A}} = 1 - sin A.cos A + 1 + sin A.cos A = 2.

Hence, proved that sin3A+cos3Asin A + cos A+sin3A−cos3Asin A - cos A\dfrac{\text{sin}^3 A + \text{cos}^3 A}{\text{sin A + cos A}} + \dfrac{\text{sin}^3 A - \text{cos}^3 A}{\text{sin A - cos A}} = 2.

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