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Mathematics

Prove that :

cos A1 - tan A+sin A1 - cot A=sin A+cos A\dfrac{\text{cos A}}{\text{1 - tan A}} + \dfrac{\text{sin A}}{\text{1 - cot A}} = \text{sin A} + \text{cos A}

Trigonometric Identities

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Solving L.H.S. of the equation :

cos A1 - tan A+sin A1 - cot A=cos A1−sin Acos A+sin A1−cos Asin A=cos Acos A−sin Acos A+sin Asin A−cos Asin A=cos2 Acos A−sin A+sin2 Asin A−cos A=cos2 Acos A−sin A−sin2 Acos A−sin A=cos2 A−sin2 Acos A−sin A=(cos A+sin A)(cos A−sin A)cos A−sin A=(cos A+sin A)(cos A−sin A)cos A−sin A=cos A+sin A=sin A+cos A=R.H.S.\dfrac{\text{cos A}}{\text{1 - tan A}} + \dfrac{\text{sin A}}{\text{1 - cot A}} \\[1em] = \dfrac{\text{cos A}}{1 - \dfrac{\text{sin A}}{\text{cos A}}} + \dfrac{\text{sin A}}{1 - \dfrac{\text{cos A}}{\text{sin A}}} \\[1em] = \dfrac{\text{cos A}}{\dfrac{\text{cos A} - \text{sin A}}{\text{cos A}}} + \dfrac{\text{sin A}}{\dfrac{\text{sin A} - \text{cos A}}{\text{sin A}}} \\[1em] = \dfrac{\text{cos}^2 \text{ A}}{\text{cos A} - \text{sin A}} + \dfrac{\text{sin}^2 \text{ A}}{\text{sin A} - \text{cos A}} \\[1em] = \dfrac{\text{cos}^2 \text{ A}}{\text{cos A} - \text{sin A}} - \dfrac{\text{sin}^2 \text{ A}}{\text{cos A} - \text{sin A}} \\[1em] = \dfrac{\text{cos}^2 \text{ A} - \text{sin}^2 \text{ A}}{\text{cos A} - \text{sin A}} \\[1em] = \dfrac{(\text{cos A} + \text{sin A})(\text{cos A} - \text{sin A})}{\text{cos A} - \text{sin A}} \\[1em] = \dfrac{(\text{cos A} + \text{sin A})\cancel{(\text{cos A} - \text{sin A})}}{\cancel{\text{cos A} - \text{sin A}}} \\[1em] = \text{cos A} + \text{sin A} \\[1em] = \text{sin A} + \text{cos A} \\[1em] = \text{R.H.S.}

Hence, proved that cos A1 - tan A+sin A1 - cot A=sin A+cos A\dfrac{\text{cos A}}{\text{1 - tan A}} + \dfrac{\text{sin A}}{\text{1 - cot A}} = \text{sin A} + \text{cos A}

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