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Mathematics

Prove the following identities :

cot A1 - tan A+tan A1 - cot A\dfrac{\text{cot A}}{\text{1 - tan A}} + \dfrac{\text{tan A}}{\text{1 - cot A}} = 1 + tan A + cot A

Trigonometric Identities

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Solving L.H.S. of the above equation :

⇒cot A1 - tan A+tan A1 - cot A⇒1tan A1 - tan A+tan A1−1tan A⇒1tan A(1 - tan A)+tan Atan A - 1tan A⇒1tan A(1 - tan A)+tan2Atan A - 1⇒1tan A(1 - tan A)−tan2A1−tan A⇒1 - tan3Atan A(1 - tan A)⇒(1 - tan A)(1 + tan A + tan2A)tan A(1 - tan A)⇒1 + tan A + tan2Atan A⇒1tan A+tan Atan A+tan2Atan A⇒cot A + 1 + tan A.\Rightarrow \dfrac{\text{cot A}}{\text{1 - tan A}} + \dfrac{\text{tan A}}{\text{1 - cot A}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\dfrac{1}{\text{tan A}}}{\text{1 - tan A}} + \dfrac{\text{tan A}}{1 - \dfrac{1}{\text{tan A}}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{1}{\text{tan A(1 - tan A)}} + \dfrac{\text{tan A}}{\dfrac{\text{tan A - 1}}{\text{tan A}}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{1}{\text{tan A(1 - tan A)}} + \dfrac{\text{tan}^2 A}{\text{tan A - 1}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{1}{\text{tan A(1 - tan A)}} - \dfrac{\text{tan}^2 A}{1 - \text{tan A}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{1 - tan}^3 A}{\text{tan A(1 - tan A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{(1 - tan A)(1 + tan A + tan}^2 A)}{\text{tan A(1 - tan A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{1 + tan A + tan}^2 A}{\text{tan A}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{1}{\text{tan A}} + \dfrac{\text{tan A}}{\text{tan A}} + \dfrac{\text{tan}^2 A}{\text{tan A}} \\[1em] \Rightarrow \text{cot A + 1 + tan A}.

Since, L.H.S. = R.H.S.

Hence, proved that cot A1 - tan A+tan A1 - cot A\dfrac{\text{cot A}}{\text{1 - tan A}} + \dfrac{\text{tan A}}{\text{1 - cot A}} = 1 + tan A + cot A.

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